马特维尔兔窟

这题的描述对我这种语言能力残缺的人来说,复述起来太难:

实质上是求这么一个东西:   G(n)=

求G(n)的话,可以先求T(n)=,然后累加一下...额累加时第i项还要减个i~

如果学过数论,应该有印象,小于n的数里gcd(i,n)=d的i一共有个~这意味着:

T(n)=;

现在证明,T(n)是一个积性函数

证明:

设 m , n 满足 (m,n)=1:

则:

由于(m,n)=1,故dn与dm互素,所有dn,dm的组合正好取遍mn的约数

到了这里,只需考虑n等于素数的幂时T(n)的值:

根据T(n)的定义,显然有:

有了这个性质,就有可以在O(n)时间内用这个  牛X的筛法  把表打出来,然后求和还是O(n),查询什么的显然O(1)咯lol...

代码:

#include	<stdlib.h>
#include	<stdio.h>
#include	<string.h>
#include	<math.h>
#define FF(i,b) for(i=0;i<(b);i++)
#define FOR(i,a,b) for(i=(a);i<=(b);i++)
#define ZERO(x) do{memset(x,0,sizeof(x));}while(0)
#define SWAP(a,b) do{int _tmp=a;a=b;b=_tmp;}while(0)
#define INFI 2000000000
#define INFF 1e100
#define maxn 1000000
typedef long long  LL;
int p[maxn+1],ph[maxn+1],pk[maxn+1],T[maxn+1];
LL G[maxn+1];
void sevie()
{
	memset(p,0,sizeof(p));
	int i,j;
	p[0]=ph[0]=0;ph[1]=1;T[1]=1;
	for(i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!p[i]){p[++p[0]]=i;ph[i]=i-1;pk[i]=i;T[i]=(i<<1)-1;}
		for(j=1;p[j]<=maxn/i;j++)
		{
			p[p[j]*i]=1;
			if(i%p[j]){
				ph[i*p[j]]=ph[i]*p[j];
				pk[i*p[j]]=p[j];
				T[i*p[j]]=T[i]*T[p[j]];
			}
			else{
				ph[i*p[j]]=ph[i]*p[j];
				pk[i*p[j]]=pk[i]*p[j];
				if(i==pk[i])T[i*p[j]]=p[j]*T[i]+ph[i*p[j]];
				else T[i*p[j]]=T[i/pk[i]]*T[pk[i]*p[j]];
				break;
			}
		}
	}
	G[0]=0;
	for(i=1;i<=maxn;i++)G[i]=G[i-1]+T[i]-i;
}
int main ( int argc, char *argv[] )
{
	sevie();
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		if(!n)break;
		printf("%lld\n",G[n]);
	}
	return EXIT_SUCCESS;
}

辗转相除法最大公约数:

//要求a,b不同时为零
int gcd(int a,int b)
{
    if(!b)return a;
    else return gcd(b,a%b);
}

利用最大公约数求最小公倍数:

int lcm(int a,int b)
{
    if(!(a*b))return 0;
    else return a*b/gcd(a,b);
} 

求:

int modExp(int a,int b,int n)
{
    int t=1,y=(a%n+n)%n;
    while(b)
    {
            if(b%2==1)t=t*y%n;
            y=y*y%n;
            b/=2;
    }
    return t;
}

扩展的Euclid算法:

//返回a，b的最大公约数d，并使ax+by=d
int ExtEuclid(int a,int b,int *x,int *y)
{
    int d,tmp;
    if(b==0)
    {
            *x=1;
            *y=0;
            return a;
    }
    d=ExtEuclid(b,a%b,x,y);
    tmp=*x;
    *x=*y;
    *y=tmp-a/b*(*x);
    return d;
}

解线性同余方程:

//返回最小的x...通解是X=x(mod n/d) 
int modularLinerEquation(int a,int b,int n)
{
    int x,y,d;
    d=ExtEuclid(a,n,&x,&y);
    if(b%d!=0)return -1; // no solution
    x=b/d*x;
    x=(x%(n/d)+(n/d))%(n/d);
    return x; 
}

用中国剩余定理解同余方程组:

//用中国剩余定理解线性同与方程组$a\equiv b_i(\mod m_i)$
int solModularEquations(int b[],int m[],int z)
{
    int M=1,i,y,result=0;
    for(i=0;i<z;i++)M*=m[i];
    for(i=0;i<z;i++)
    {
        y=modularLinerEquation(M/m[i],1,m[i]);
        result=(result+y*b[i]*M/m[i])%M;
    }
    return result;
}

Miller-Rabin测试:

//Miller-Rabin素性测试
//令大奇数$n=2^lm+1$,其中l非负整数,m为正奇数.
//若$b^m\equiv 1(\mod n)$或者$b^{2^jm}\equiv -1(\mod n)$ ,0<=j<=l-1
//则称n通过以b为基的miller-rabin测试 
int passMillerRabinTest(int n) 
{
    int l,m;
    m=n-1;
    l=0;
    while(m%2==0)
    {
        l++;
        m/=2;
    }
    
    b=rand()%(n-1)+1;
    
    if(modExp(b,m,n)==1)return 1;
    
    int i,k;
    k=m;
    for(i=0;i<l;i++)
    {
        if(modExp(b,k,n)==n-1)return 1;
        k*=2;
    }
    
    return 0;
}